数学基础

我们从一般的热传导方程开始，这是对物理介质内能量连续守恒的描述：

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial u}{\partial z} \right) = c \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$

其中，$u(x, y, z, t)$ 表示温度分布，而 $k$、$c$ 和 $\rho$ 代表介质的物理属性。尽管该方程优美，但其可变系数常常使其难以解析求解。

各向同性简化

为实现向计算的跨越，我们采用一个主要的简化约束：假设存在一个 各向同性体。

在此假设下，$k$ 相对于空间导数变为常数，使我们可以将控制定律简化为众所周知的 拉普拉斯形式：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{c \rho}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$

通往现实的桥梁

考虑一根长度为 $l$ 的长而细的铜棒。虽然微积分允许我们写出其温度分布的优美二阶偏微分方程，但棒材环境或内部热源的任何变化都会使“笔算”解几乎不可能实现。这种计算上的转变，源于我们需要在缺乏闭式解析解的真实几何结构上求解这些方程。